罗素悖论解决了吗30句

1、几何从开始的时候来说，是研究图形的性质。数学是怎么在图形性质的研究上得到突破性发展呢？最最关键的也许是数学逻辑链条的建立。

2、《几何原本》开篇是五大公理和五大公设。从这一点起，古希腊人真正开始搭建完美的数学大厦。五个公理对我们普通人来说，简直就是不用想也应该是对的。第一就是等于同量的量相等，第二是等量加等量其和仍然相等，第三是等量减等量其差相等。第四是彼此能重合的物体是全等的。第五是整体大于局部。

3、最终否定这个公设成了正确的选择。这个决定做出得非常艰难。罗巴切夫斯基算是一个比较成功的挑战者，不过他的理论在他生前也没有得到数学家的认可。真正理解这个公设含义的是伟大的数学家高斯，不过高斯生前并没有发表他这方面的想法。刺破这个大难题的应该是黎曼，他的微分几何真正意义上决定了第五公设的彻底破产。同时黎曼的伟大还在于，他开拓了一个崭新研究几何的领域。黎曼思维下的几何，作图已经不重要。那些相似，全等等等的几何特性，在黎曼几何下已经不再研究，黎曼更多地是用微积分的手段探索世界的几何性质，这一点古希腊学者是不可能想到的。今天就聊到这里，下一篇再来详细聊聊《几何原本》

4、从后来的数学发展来看，数的研究非常深奥，也有很多工作去做，比如历史上最伟大的数学家高斯，最主要的成就就是研究素数（一类不可被其他整数整除的整数）。高斯得到的结果和研究的手法及内容如此的深奥，直到今天，也只有少数人能真正理解高斯的思想。一个不是数学本科以上的毕业生，基本都无法搞懂高斯的工作，可见其研究的深入和高难度。既然有那么多内容可以研究，为什么古希腊人没有花很多功夫去探索呢？或者说，古希腊学者在数的研究上为什么突破不多？

5、如果是一个描述，那么我们可以把那些满足描述的个体搜集在一起构成一个集合。

6、如果是一个集合，并且是一个描述，那么我们可以把那些属于并且满足描述的个体搜集在一起构成一个集合。

7、理论上，公设就是公理，都是开始数学研究所必须遵循的约定。那为什么欧几里得要把公设和公理分开呢？有各种解释，大家认可的解释是欧几里得想专门针对几何给出几条公理，这些就是公设了。这也不能完美解释公设与公理的区别，因为既然《几何原本》开始是研究几何的，你可以全部把公设说成公理啊（我们后人基本也是这样做的，所以后来的数学体系中公设就没有了），没必要区分。伟岗认为关键问题出在第五公设上，由于有第五公设的存在，欧几里得才把公设和公理分开，这样大家可以有机会质疑公设的合法性，但是公理就是肯定成立了。

8、悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义（内容）和表达方式（形式）、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。

9、悖论根源于知性认识、知性逻辑（传统逻辑）、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化，即把形式逻辑当作思维方式。

10、真实性悖论

11、这个公设似乎不是一看就是成立的，后来的很多数学家耗尽了一生的心血，企图证明这个公设。全部被打脸。可以说，这条公设是古希腊人给后续数学家提供的一个灯塔，很多人为此走了非常大的弯路，白白浪费了一生的精力。

12、悖论在当代逻辑中获得了新的作用，它们导致了新定理的发现(通常是负面的结果，例如不可证明性和不可判定性)。逻辑的几个基本概念发展过程,之所以已经到了目前的状态，通常是得益于解决悖论的各种尝试。对于集合(set)和类(collection)的概念，标准古典逻辑的基本句法和语义概念（给定顺序的逻辑语言，可满足性，可定义性的概念）出现而言，尤其如此。

13、研究数特别是研究整数的可除性（也就是数论），是数学非常大的一个分支。数论被高斯称为数学的皇冠，内容之丰富超过所有人的想象。很多现代数学家都是靠研究数论出名，这里面包括北大毕业的张益唐。有点不可思议的是，数论的研究非常深奥。素数的性质隐藏得如此之深，数学家花了很多脑力，用了很多外行人想象不到而且可能看都看不懂的工具和方法，才得到他们想得到的结果。比如张益唐试图解决困扰数学家几百年的孪生素数问题，就用到包括微积分，群论等一系列高深的数学工具。

14、意义和影响

15、真实性悖论（veridicalparadox）：是一个无矛盾的命题。其产生的结果看起来很荒谬，但事实证明是正确的。其推理过程和其结果都没有问题，不是真正的悖论。如，希尔伯特旅馆悖论。

16、这是ZFC版本下的separation：

17、《几何原本》中的五大公设又是一个大坑。最出名的自然是第五大公设：平行公设。前面四大公设没什么特别，都是关于点，圆，线的作图：1.两点可以做一条直线，2.直线可以延长，3.任意点加一个长度可以画个圆，4.所有直角都是相等的。这四大公设一看也是显然成立的。

18、研究悖论解决方案的副产品包括：集合论的公理化，类型论的系统发展，语义学的基础，形式系统的理论。

19、所以说要求古希腊人去研究数确实不太可能了，数被抽象出来，但是研究它们的性质又太难，那怎么办？科学的进步是循序渐进的，数学当然不会例外，古希腊人找到一片可以突破的蓝海，那就是几何。

20、区别在于，ZFC下面的separation不是凭空产生的，而依赖于原有的集合。在粗鄙的情况下，会产生罗素悖论。令就可以得到，然后问这个集合是否属于自身，便得到悖论。但是在ZFC中，即便没有foundation，也不会出现这样的问题，因为根本就没有这样的写法，只有这样的写法，而就算是没有foundation，我们光从也得不到矛盾。将这个集合记作B，只有在并且的情况下才会有问题。那么我们只需要选择并且就能避免矛盾了。当然，另一条线依旧是不能选择的：假设，那么我们就得到并且，而这一边依旧是一个矛盾。但是没关系，另一边已经不再封闭了。于是，在ZFC里面，罗素悖论的形式帮助我们看清了这一点：对于任何一个集合A，总存在一个集合B，使得B不在A里面。换而言之，不存在所有集合的集合。

21、罗素悖论现在已经得到了“解决”。解决罗素悖论的努力直接导致现代数理逻辑的奠基工作，哥德尔不完备定理。

22、公理不需要证明，甚至无法证明，里面蕴含的数学内容也非常深刻。不过要认识到这一点，要到后来1900年左右的希尔伯特深邃的思维。数学从哪里出发，这样的出发点有没有问题只是到了近代，数学家才认识到其重要性。如果再深入思考一点，公理对任何科学都是必须的吗？不要以为这是个脑残的问题，这个问题其实是一个非常大的挑战。它甚至关系到科学发展的命运。特别是后来出现了很多悖论（比如集合论中的罗素悖论）。这些悖论的造成是公理的错，还是我们逻辑思维和方法的错？至今也没有很好的答案。

23、原因是多方面的，最大的原因应该是，研究数的性质脱离了当时人们的认知。也就是说，数刚刚被毕达哥拉斯抽象出来，怎么记录怎么演算还需要不断挖掘。面对一堆整数，古希腊学者应该是满头雾水，不知道研究数的哪方面性质，更没有好的研究工具。到了高斯那个年代就不同，前面有费马的铺垫工作，探索数的同余性可以得出非常深刻的数学知识，比如，数的对称性，数的模式等，这一些也只有高斯这样的天才才想得到。

24、数学最古老的内容就算几何了。非常奇怪的是，毕达哥拉斯把数抽象出来后，研究数学并没有从研究数去展开，而是开始从自然界的图形入手，建立了一个数学史上第一个严密的体系，也就是几何体系。

25、首先，冯诺依曼提出，全体集合构成的集合，不能是集合论的一个对象、元素。罗素悖论就是因为把全体集合构成的东西当做集合（集合论语言中的元素）来处理。冯诺依曼提出，全体集合构成的东西可以作为类提起，但不能作为集合参与集合论的运算（这中的区别很大，听起来有点玄，有兴趣可以参考数理逻辑基础知识），亦即不能说这个东西属于某个集合。同时有人提出，加入WF公理（不存在无穷集合降链）。这样一来，罗素悖论就“不再存在”。

26、任何逻辑链条都有一个起点，数学的起点就是建立一系列的公理。数的公理还比较难建立，不过几何的公理被古希腊人建立起来了。展现在我们现代人面前的就是这部影响人类几千年，有统计说印刷量最大（甚至超过了圣经，也有的统计说圣经印刷量最大，几何原本第二）的数学巨作：《几何原本》。

27、平行公设说的是过直线外一点能够存在多少条直线的平行线问题。在《几何原本》中，欧几里得说存在且只存在一条平行线。

28、在19世纪末至20世纪初，逻辑和数学的基础受到许多困难（所谓的悖论）的发现的影响，特别是经典集合论中被发现有自相矛盾的现象，尤其是罗素悖论，以极为简明的形式震撼了数学的基础,这就是“第三次数学危机”。这些难题涉及基本概念以及定义和推理的基本方法，这些以前通常被认为是没有问题的。

29、这是粗鄙的separation：

30、《几何原本》的作者是欧几里得。很可惜，我们对欧几里得的生平几乎一无所知。他应该是柏拉图的学生，或者至少在柏拉图开办的学院中学习过。他活跃的年代应该是亚历山大时代，公元前300左右，也就距离现在有2000多年。原版的《几何原本》全部都不存在了，现在流传的版本都是通过后来的手抄本才得以存在。有一点口口相传的味道。