韩信点兵的下一句

1、M₁=qm₁+r,504=100×5+4,c₀=1;

2、M₂⁻¹=3，M₂⁻¹M₂a₂=3×315×1=945；

3、◆由于a₂=0所以M₂⁻¹M₂a₂=0；

4、将整个求解过程写成算式就是：

5、当n=2时x₁=70，70mod3=1刚好满足②，Bingo~~~。

6、接着，定义两个数列：

7、韩信点兵——多多益善，我四年级就接触了。

8、韩信点兵泛指”物不知数“此类一次同余方程组求解问题。南宋著名数学家秦九韶对《孙子算经》中的算法进行了深入研究，将其扩展为『大衍总数术』，彻底解决了韩信点兵问题，这就是《初等数论》中的中国剩余定理（也称孙子定理）：

9、答曰：二十三。

10、进而，有如下算法：

11、信曰：“陛下不能将兵，而善将将，此乃信之所以为陛下禽也。且陛下所谓天授，非人力也。”

12、在同余意义下，必有唯一解：

13、上曰：“于君何如？”

14、今有物，不知其数。三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二。问物几何？

15、验证：易知，

16、前面再加上(4)，整个过程就是欧几里得辗转相除法，因此r_k为Mᵢ和mᵢ的最大公约数，而m₁,m₂,...,m_n是两两互素，于是有：r_k=(Mᵢ,mᵢ)=1，这样就证明了最后总可以终止于1的正确性。

17、最终答案：框里最少有441个鸭蛋。

18、当然，中国剩余定理要求m₁,m₂,...,m_n必须两两互素，对于那些不满足这个条件的一次同余方程组可以转换为和其同解的满足这个条件的一次同余方程组。下面举例说明：

19、显然1,2,3,4,5,6,7,8,9并不两两互素，因此需要简化：

20、韩信点兵——多多益善

21、信曰：“陛下不过能将十万。”

22、x>M,x=x-M=2961-2520=441

23、三人同行七十稀，

24、有一个正整数x，知x除以3余2、除以5余数3、除以7余数2，求x的最小值。

25、则(8')和(8)等价。由于5,7,9,8两两互素，符合中国剩余定理要求，于是解：

26、令，r是Mᵢ除以mᵢ的余数，即，

27、韩信暗点兵，韩信不是一、二、三、点数，而是，让队伍列队：

28、注：正半月就是十五天，除是除去（减去）之意。

29、到r_k=1终止。如果向下进行一步就是：

30、中国剩余定理，在《抽象代数》中还有另外的形式，不过这就扯远了，就此打住。

31、比较(5)得到：

32、设m₁,m₂,...,m_n是两两互素的正整数，那么对于任意整数a₁,a₂,...,a_n组成的一次同余方程组：

33、[x=233>105]：x=x-105=233-105=128

34、三人同行七十夕，五数梅花二十一，七子团圆正半月，去百零五便得知。

35、x=x'=233

36、x=2×70+3×21+2×15-2×(3×5×7)=23

37、求得满足：可被3和7整除并且除以5余1的最小正整数x₂=21，从而得到，同样可被3和7整除但除以5余3的3x₂=63；

38、为了方便记忆，发明珠算和卷尺的明朝数学家程大位，在其所著的《算法统宗》中，将《孙子算经》的算法编成"孙子歌诀"如下：

39、M₁⁻¹=4，M₁⁻¹M₁a₁=4×504×1=2016；

40、再让五人一列，记住多余的人数；

41、注：这里只是给出了定理的验证，并没有严格证明同余意义下的唯一性。证明中国剩余定理，有多种方法大家有兴趣可以参考《初等数论》。

42、这就说明(3')的确是(3)的解。

43、这样我们就将辗转相除又延长了一步到k+1，这时k+1是偶数，则同理上面情况可得到：

44、一个数字必然被1整除，因此①没有意义，删除；一个数字被9整除，必然会被3整除，因此保留⑨删除③；一个数字被8除余1，则可以表示为8x+1，进而有2(4x)+1，4(2x)+1，于是x一定可以被2和4整除，因此保留⑧删除②和④；目前已经保证了被2除余1，可表示为2x+1，也保持了被3整除，于是有3(2x+1)=6x+1，这说明目前已经保持了被6除余3，因此⑥可以被删除；最后剩下⑤和⑦保留。得到：

45、韩信点兵——多多益善；越多越好

46、m₃=q₁r+r₁,8=2×3+2,c₁=q₁=2;

47、术曰：“三、三数之，剩二”，置一百四十；“五、五数之，剩三”，置六十三；“七、七数之，剩二”，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之，剩一，则置七十；五，五数之，剩一，则置二十一；七、七数之，剩一，则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。

48、[x=23<105]：OK！

49、韩信点兵的后面补充歇后语为多多益善。韩信点兵，多多益善古代是用来对韩信统帅兵马才干的赞誉。现代多用来形容数量越多越好。故事来源：刘邦有一次与韩信议论各位将军的才能，刘问韩:依你看，我能带多少兵啊?韩信说，陛下可以带十万兵。刘又问，那你能带多少呢?信回答，"臣多多而益善耳。"

50、求得满足：可被3和5整除并且除以7余1的最小正整数x₃=15，从而得到，同样可被3和5整除但除以7余2的2x₃=30；

51、◆M₁=7×8×9=504

52、七子团圆正半月，

53、并重新令：

54、◆M₃=5×7×9=315

55、具体过程如下：

56、韩信点兵，多多益善。原文如下：上尝从容与韩信言诸将能不，各有差。上问曰：“如我，能将几何？”

57、◆由于a₄=0所以M₄⁻¹M₄a₄=0；

58、m₁=q₁r+r₁,5=1×4+1,c₁=q₁=1;(r₁=1，下标1是奇数，需要再算一步)

59、这等价于求解《初等数论》中的一次同余方程组：

60、寻中最小正整数x₁，满足：x₁被5和7整除并且除以3余1，即，5|x₁,7|x₁并且x₁mod3=1②

61、秦九韶分别称M、Mᵢ、Mᵢ⁻¹为衍母、衍数、乘率，这里的关键是求乘率Mᵢ⁻¹，方法如下：

62、再结合(3'')，由(3')可以推出：

63、（由于本人数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师批评指正！）

64、[x=128>105]：x=x-105=128-105=23

65、韩信点兵问题最早出自《孙子算经》。《孙子算经》是中国古代非常重要的数学著作，因数学家孙子贡献最大而得名（关于孙子的资料不可考），大约成书于东晋十六国时期，现存最早为北宋刻本，全书分三卷：《卷上》、《卷中》、《卷下》，主要讲述度量规定和算筹运算以及基于它们的数学应为问题，韩信点兵为《卷下》第二十六题”物不知数“，原文如下：

66、有一筐鸭蛋，1个1个数，正好数完；2个2个数，还剩1个；3个3个数，正好数完；4个4个数，还剩1个；5个5个数，还剩1个；6个6个数，还剩3个；7个7个数，正好数完；8个8个数，还剩1个；9个9个数，正好数完。请问：框里最少有多少个鸭蛋？

67、◆M=m₁m₂m₃m₄=5×7×8×9=2520

68、【韩信暗点兵】歌诀：

69、按照题目所述，列同余方程组如下：

70、当k为奇数时，则k+1是偶数，这就要算到(6)，对(6)稍作变形：

71、物不知数

72、将上面的结果相加得到：x’=2x₁+3x₂+2x₃=140+63+30=233，则容易验证x‘是同余方程组(1)的一个解，但是x’不是最小整数解x。很容易可以发现x'减去一个同时被3、5和7整除并且不大于x'的整数，结果依然是(1)的解，由于，同时3、5和7整除，就意味着被3×5×7=105整除，于是得出：

73、韩信点兵泡茶的四句话就是：“高冲低洒，盖沫重眉，关公巡城，韩信点兵”，或称“八步法”。我们在喝茶的时候最少要有三个杯子，并且杯子摆放的时候形成一个品字。另外我们所谓茶3酒4，喝酒的时候是四个人。喝茶的时候，第一口是小口，第二口品第三口是回味！

74、这样就得到了最终答案：x=23。

75、r=q₂r₁+r₂,4=3×1+1,c₂=q₂c₁+c₀=3×1+1=4；(得到结果)

76、如果x>105（原文为106=x₁+x₂+x₃）则令x=x-105，否则x为最终答案；

77、r=q₂r₁+r₂,3=1×2+1,c₂=q₂c₁+c₀=1×2+1=3；(r₂=1，下标2是偶数，得到结果)

78、令x=x'；

79、除百零五便得知。

80、韩信点兵

81、最后，需要说明的是：

82、韩信点兵的歇后语是多多益善。

83、这样归纳的证明了(7)成立。

84、首先三人一列，记住多余的人数；

85、曰：“臣，多多而益善耳。”

86、上笑曰：“多多益善，何为为我禽？”

87、因为此算法最后总会终止于1，所以被秦九韶称为『大衍求一术』，前缀“大衍”来自于《易经·系辞》：“大衍之数五十，......”。

88、数学大神欧拉和高斯对于一般一次同余式进行了详细研究，独立的得到了中国剩余定理，后来证实与秦九韶『大衍求一术』相同，于是才命名该定理为：中国剩余定理。

89、然后，让mᵢ和r辗转相除，得到：

90、五树梅花廿一枝，

91、x=x'(mod105)

92、x₁被5和7整除，就意味着被5×7=35整除，即，35|x₁，于是，令x₁=35n（n≥1）：

93、《孙子算经》给出的解法如下：

94、x=M₁⁻¹M₁a₁+M₂⁻¹M₂a₂+M₄⁻¹M₄a₄=2016+0+945+0=2961

95、当n=1时x₁=35，35mod3=2不满足②舍弃；

96、汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你觉得我可以带兵多少？”韩信：“最多十万。”刘邦问：“那你呢？”韩信自豪地说：“越多越好，多多益善嘛！”刘邦半开玩笑半认真的说：“那我岂不是打不过你？”韩信说：“不然，主公是善于驾驭将军的人。”

97、题目翻译成现今的数学语言如下：

98、当k为偶数时有：

99、M₃=qm₃+r,315=39×8+3,c₀=1;

100、展开全部

101、于是，令，

102、由于x₁≡1(mod3)，故2x₁≡2(mod3)，于是得到2x₁=140，它满足：除以3余2并且被5和7整除。

103、高斟低酌，乱沫飞溅，关公巡城，韩信点兵。